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2020年福建成考专升本高等数学(一)内部资料

来源:福建成考网     2021-12-15 10:32:46复习资料 >

  【导读】福建成考网小编为大家带来2020年福建成考专升本高等数学(一)内部资料

  2020年10月份成人高考入学考试

  高等数学(一)通关资料

  主讲人:张老师

  •考点1极限的四则运算法则

  1.利用极限的四则运算法则求极限

  考点2:无穷小量和无穷大量定义及关系

  1 .无穷小量概念:

  如果当自变a f x(图-8)时,函数f(X )的极限值为零, 则称在该变化过程中,f(X)为无穷小量,简称无穷小,记作 limf(x)) = 0(或 limf(x)= 0)

  Xf X 0 X-8

  在微积分中,常用希腊字母aP,球表示无穷小量

  2 .无穷大量概念

  如果当自变a f X0(或X-8)时,函匆(x )的绝对值可以 变得充分大(即无限得增大),则称在该变化过程中,f(X)为 无穷大量记作lim f (X) = 8

  X f X 0

  两者关系:

  在同一变化过程中,如果/ (X)为无穷大量,则,为无穷小量 于(X)

  反之,如形(X)为无穷小量,国(X)+0,则,为无穷大量

  f ( X )

  考点3:无穷小量性质及比较

  1.无穷小量的性质.

  (1)有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量.

  (2)无穷小量与有界之量的积仍为无穷小量.

  2.无穷小量的比较.

  设。和£是同一过程中的无穷小量,

  即 lim以= 0, lim£ = 0

  ⑴ 如果lim °j=0,则称口是比£高阶的无穷小量.

  ⑵ 如果lim°二C中0,则称°是与£同阶的无穷小量.

  ⑶ 如果lim°=C=1,则称°是与°等价无穷小量,记作°等价于°

  (4)如果lim° = *则称°是比例氐阶的无穷小量.

  考点4:等价无穷小

  1如果%、%、外£2都是同一变化过程中白妩穷小量,

  且% ~ pi, a2~ £2

  贝Ulima1-二 lim且

  a p2

  这个定理说明,两个无穷小量之比的极限,可以用与 它们等价的无穷小量之比的极限来代替以后我们可以 用这个方法来求两个无穷小量之比的极限,此方法可 叫做等价无穷小代替法

  常用等价无穷小:

  当* f 0时,x 〜sinx 〜ln (1 + x )〜arcsinx 〜arctanx 〜ex -1

  〜tanx,1-cosx 〜gx2, (1 + x)“ -1〜ux (u为实常数,uw 0)

  ■考点5:两个重要极限

  特殊极限一:lim欠二1

  % T 0 x

  特殊极限二:

  / 1-

  lim(1 + 一)二 e

  x s X

  / 1 -

  lim(1 H——)二 e

  n fs n

  1

  lim(1 + x)x = e

  x —f 0

  考点1:函数在某一点的连续

  定义1:设函数丫 = f(x)在点X0的某个邻域内有定义,如果有

  自变量Ax (初值为x0)趋近于0时,相应的函数改变量Ay也趋

  近于0,即 lim[f(x0 + Ax)-f(x0)] = 0 Axf0 0 0

  则称函数丫 = f(x)在点x0处连续.

  定义2:设函数丫 = f(x)在点x0的某个邻域内有定义,如果当

  x f x0时,函如(x)的极限值存在,且等于x。处的函数值f(x0)

  即lim f(x)= f(x0),则称函数丫 = f(x)在点x0处连续.

  x-x 0

  定义3:设函数丫 = f(x)在点x0的某个邻域内有定义,如果当

  x f x0时,函如(x)的左右极限存在且等于函数值/(x0),即

  lim f(x)= lim f(x)= f(x0),则称函数丫 = f(x)在点x0处连续

  x-x 0- x-x 0+

  考点2:函数间断点

  定义:如果函数f(X)在点X0处不连续,则称点X0为f(x)的 一个间断点由函数在某点连续的定义可知,如果函数f(X) 在点X0处有下列三种情况之一,贝1」点X0是f(X)的一个间断点: ⑴在点X。处,f(X)没有定义。

  ⑵在点X。处,f(X)的极限不存在。

  (3)虽然点X。处f(X)有定义,且lim f(X)存在,但 x — x0

  lim f( x)0 f( x0)

  X f X 0

  三、导数

  (一)导数定义

  设函数y = f(x)在点X0的某一邻域内有定义,若自变量 X在点X0处的改变量为Ax (X0 +AX仍在该领域内).函数y = f(x)相应地有改变量Ay = f(X0 +Ax)-f(X0).如果极限 lim Ay 二 lim f( x 0+•)- f( x O)

  Af0 Ax Af0 Ax

  存在,则此极限值为函数y = f(x)在点x0处的导数.

  三、导数

  (二)基本初等函数的导数公式

  1 .( c )#39; = 0

  2 .( xa) = a x “1

  3 .( log ax )#39; = ---( a > 0,且 a + 1) x Ina

  4 .( Inx)#39;=-

  x

  5 .( ax)#39; = axlna

  6 .( ex)′ = ex

  7 .( sinx )#39; = cos x

  (cos x)#39; = 一sinx

  8 .( tanx)#39; = sec 2x

  (cotx)#39; = 一csc 2x

  三、导数

  (二)基本初等函数的导数公式

  三、导数

  (三)导数的四则运算公式

  L(u 土 V)#39;= u‘ 土 v#39;

  2 .(u.v)‘= u’.v + u.v#39;

  3 .(cu )′= cu(c为常数)

  4/U、#39; u.v-u.v#39;/ 八、

  4 .( 一 ) = 2——(V 0 0)

  V V2

  三、导数

  (四)复合函数求导

  如果函数u = a (x)在点x处可导,函数y = f (u)在对应点 u处也可导,则复合函耙=f [a (x)]在点x处可导,且有 dy dy du

  —二—.— dx du dx ‘ #39; #39;

  y x — y u .u x

  {f [a (x)]} — f( u) u#39;(x)

  解题思路:

  (1)找出复合框架,y — f(u),u — f(x)

  y — f (u),u — f (v 讣—f (x)

  (2)分别求导相乘

  三、导数

  (五)参数方程表示的函数求导法则

  一般的,如果参数方程

  [x=u (t)t为参数)

  [y = v (t)

  确定了丫为乂的函数,在计算此类由参数方程

  所确定的导数时,不需要先消去参知后再进行求导

  dy

  dy 出 dy dt u(t) y#39;t

  =——= . =—: =——

  dx dx dt dx v(t)xt

  dt

  三、导数

  (六)隐函数的求导

  解析法表示函数通常有两种:

  ⑴.y = f (x)来表示的,称之为显函数。

  女口y = sinwx, y = exln (x + J1 + x2)

  (2).x与y之间的函数关系是由一个方程F (x, y) = 0来确定 这种称之为隐函数,

  如2x + y3 -1 = 0, xy-ex + ey = 0

  对于隐函数的求导通常做法:

  可直接在方程F(x,y)= 0的两端同时对x求导,而把y 视为中间变量,利用复合函数求导法即可。

  (特殊情况:对数求导法时,先两边同时取对数,再求解)

  (七)对数函数求导法

  利用对数函数的运算性质可以将原来的函数两边同时取对数后化简 然后利用隐函数求导法或复合求导法求导,因此称为对数求导法 通常解决函数类型为:

  y 二 u(x)丫。)

  步骤为:

  (1)两边同时取对数得

  ln y = vx.ln u (x)

  (2)两边同时对x求导得到

  1 #39; #39; vx.u ^( x)

  —.y = v (x).ln u(x) H

  y u (x)

  三、导数

  (八)高阶求导

  如果函数y = f (x)的导数y#39; = f(x)仍是x的可导函数, 那么就称f(x)的导数为f (x)的二阶导数,相应地f(x) 称为函数y = f (x)的一阶导数.二阶导数记为 y#39;,f( x)亭或男 dx dx

  y” = (y#39;)’ f(x) = “#39;(x)]#39;或2=*( dy)

  2 2 2 L 2 」 2 2 7 7

  dx dx dx

  四、微分

  (一)微分公式和微分法则

  微分公式:

  (1)d ( c ) = 0( c 为常数)(2) d( x“) = axa -1 dx

  (3) d (ax)= ax In adx (a > 0,且 a + 1)

  (4)d (ex)= exdx .(5)d log a x = dx (a > 0,且 a = 1)

  x In a

  (6)d (In x)=」dx .(7)d (sin x)二 cos xdx

  x

  (8)d (cos x)二一 sin xdx

  函数的和、差、积、商 微分运算公式

  设u = u (x), V = V (x)可微分,则

  d (cu )= cdu (c 为常数); d (u ± v )= du ± dv

  u、 vdu 一 udv /

  d (uv )= vdu + udv ; d (一)二 2 (V 0 0)

  V V

  五、导数应用

  (一)洛必达求导

  x f 8 )时,函数f (x )与 F (x) 都趋于零或都趋于无穷大,则称lim心

  x fU F (X) (x f8 )

  为未定型极限,并分别简记为“0”或“8”.

  0 8

  洛必达法则是求未定型极限的一种有效方法。 其它类型未定式:0.8; 8 - 8也可以变形

  五、导数应用

  (二)曲线的切线方程与法线方程

  若函数y = f(x)在点x0处可导,由导数的几何意义,知/(x0) 表示过曲线上点M(x0, f(x0))的切线斜率,所以,过曲线上点 M(x0,f (x0))的切线方程为:

  五、导数应用

  (三)函数单调性判断

  设函数f (x)在区间(a, b)内可导.

  1 .如果在区间(a, b)内f#39;(x) > 0,则函数f (x)在区间(a, b)内是递增的;

  2 .如果在区间(a, b)内f (x) lt; 0,则函数f (x)在区间(a, b)内是递减的。 注:f(x)在个别点处f#39;(x) = 0不影响f(x)的单调性.

  1 .极值的第一充分条件

  设f ( X )在X 0的某领域内可导.

  (1)若X lt; X0时,f (X )> 0, X > X 0, f ( X) lt; 0时则称X 0为极大值点,f ( X0)为极大值 ⑵ 若X lt; X0时,f (X) lt; 0, X > X0,f (X)> 0时则称X0为极小值点,f (X0)为极小值 (3)如果f (X)在X。两侧的符号相同,那么X0不是极值点。

  2 .极值的第二充分条件

  设函数^二f (X)在X。处存在二阶导数,且f (X)=0,贝

  (1)若f“(X0) lt; 0, f (X。)为极大值,X。为极大值点;

  ⑵ 若f“(X0) > 0, f (X0)为极小值,X0为极小值点;

  (3)若f“(X0)=0,此方法不能判定X0是否为极值点,而改用

  极值第一充分条件来判定。

  极值存在的必要条件:

  设函数f ( X )在X 0可导,且在点Z处取得极值,则必有 f (X0)=0,称满足f1(X0)=0的点为函数f (X)的驻点, 由此可知,可导函数的极值点必为驻点。

  五、导数的应用

  (五)曲线的凹凸性及拐点

  曲线凹凸性的判别法:

  设函数y = f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数, 那么

  (1)若在(a, b )内,f(x)> 0,则fKf(x)在[a, b]上的图形是凹的

  ⑵ 若在(a, b)内,f (x) lt; 0,则/则f(x)在[a, b]上的图形是凸的 曲线的拐点:

  在连续的曲线上的凹弧与凸弧之间的分界点称为曲线的拐点。

  五、导数的应用

  (六)曲线的水平渐近线与铅直渐近线

  定义:

  若 lim f (x) = A或 lim f (x) = A或lim f (x) = A,则 x f+8 x f - 8 x f6

  称直线y二A是曲线y=f(x)的水平渐近线.

  若 lim f (x)= 8或 lim f (x)= 8或 lim f (x)= 8,则U x f a — x f a + x f a

  称直线X二2是曲线y=f (x)的铅直渐近线.

  六、不定积分

  (一)原函数

  区间上f(X)的原函数的全体,称为f(x)在I上的不定积分 记为 J f (x )dx.

  如果F (x)为f (x)的一个原函数,则有

  J f (x)dx=F(x)+ C,其中C为任意常数.

  六、不定积分

  (二)不定积分

  区间上f(X)的原函数的全体,称为f(x)在I上的不定积分 记为 J f (x )dx.

  如果F (x)为f (x)的一个原函数,则有

  J f (x)dx=F(x)+ C,其中C为任意常数.

  (2)J dF (x) = F (x) + C, J F#39;(x) dx = F (x) (3)J kf (x) dx = k J f (x) dx (k 为常数) (4)J [f (x) 土 g(x)^x = J f (x)dx 土 J g(x)dx

  (四)基本积分公式

  (6) J cos xdx = sin x + C

  六、不定积分

  (四)基本积分公式

  1

  (7) dx = arctan x + C

  1 + x2

  六、不定积分

  (五)求不定积分的两种常用方法:

  一、换元积分法(凑微分法)

  设f(u)有原函数F(u),且u = V(x),则F[v(x)]是f[v(x)]v#39;(x)

  的原函数,即有:

  J f [ v (x )]v( x) dx = F [ v (x)] + C

  二、分部积分法

  设u、v都是x的可微函数,则有

  J udv = uv -J vdu

  七、定积分

  (一)定积分的定义

  [f(x)dx a

  称f ( x )在区间[a, b ]上可积.

  其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x 称为积分变量/a, b ]称为积分区间,a称为积分下限, b称为积分上限.

  (1)定积分若存在,它只是一个确定的常数,它只与 被积函如(X)及积分区阿a,〃有关,而与积分变量的 符号无关,即应有「〃工业=『/(t)dt.

  a a

  ⑵ 定积分//(工心中,上下限的大小没有限制,但若颠倒 a

  积分上下限,必须改变定积分的符号,即 b a

  J f ( x 炫=- J f ( x )dx

  特别地有

  a

  J f (x ydx = 0

  a

  b b

  I kf (x)dx = k I f(x)dx a a

  2.两函数代数和的定积分等于它们的定积分的代数和 即有

  b b b

  I [ f (x) ± g(x)]dx = I f (x)dx 土 I g(x)dx a a a

  b c b

  I f (x) dx = I f ( x) dx + I f (x) dx a a c

  b b

  I f (x) dx lt; I g ( x) dx a a

  七、定积分

  (四)牛顿一一莱布尼茨公式

  如果F (x)是连续函数(x )在区间[a, b ]上

  任意一个原函数则有

  2 b

  f f (x) dx = F (x) = F (b) - F (a)

  (五)定积分的几何意义

  (1)当f (x) > 0时,定积分「f(X)dx表示由连续曲线

  a

  y = f (x),直线x = a,x = b(a lt; b)和x轴所围成的

  b

  曲边梯形a/5b的面积S,即S = \ f (x)dx

  a

  ⑵当f (x) lt; 0时,曲边梯形a/5b的面积S如图2.

  即 S = - \ f (x) dx

  a

  「A /CNO

  1 J 匕 f= V

  I -A 八大)lt; o

  A 田 A:Xy = f (X) 芳 田 g 2 32^拜 开多 曲 为工

  y y = f(x)>o

  _ _ / -

  °l

  y=f (x)

  (1)由y=f(x), x=a, x=b (a lt; b )及x轴所围成的封闭平面图形的面积S :

  s 二 J |f( x)dx

  (2)由y = f1 (x), y = f2(x), x = a,x = b(a lt; b)所围成的封闭平面图形的面积S

  S 二 口力(x)- f (x) dx

  ⑶ 由x二队y),y=c,y = d(c lt; d)及y轴所围成的封闭平面图形的面积S :

  S =[忸(y) Idy

  (4)由x = g(y),x = S2(y),y = c,y = d(c lt; d)所围成的封闭平面图形的面积S :

  S = [l%( y)-*( y) Idy

  (5)由y=fl(x), y=f2(x)所围成的封闭平面图形的面积S :

  先求两条曲线的交点,只需求解方程组」y=f (x),得出交点中x的最小值

  [y = f(x)

  记为a,及交点中x的最大值,记为b,则

  S 二「|人(x) - fl(x)1dx

  (1)曲线段y = f (x), a lt; x lt; b绕Ox轴旋转所得旋转体体积Vx :

  Vx =兀『f2(x ) dx a

  (2)曲边梯形y = f (x), x = a,x = b(a lt; b)及Ox轴所围成的图形

  绕Ox轴旋转所得旋转体体积Vx :

  Vx =兀『f2(x ) dx a

  (3)曲线段x = 3(y),c lt; x lt; d(c lt; d)绕Oy轴旋转所得旋转体体积Vy

  Vy =13X y )dy

  (4)曲边梯形x = 3(y),y = c,y = d(c lt; d)及Oy轴所围成的图形

  绕Oy轴旋转所得旋转体体积Vy :

  Vy = »J: 3( y )dy

  (5)由y = f1 (x), y = f2(x), x = a,x = b(a lt; b)所围成的封闭图形 绕Ox轴旋转所得旋转体体积Vx :

  Vx =万『f22(x) - fl2(x)dx aa

  (6)由x = 31(y), x = S2(y),y = c,y = d(C lt; d)所围成的图形

  绕Oy轴旋转所得旋转体体积Vy :

  Vy = 〃f |必2( y)- 312( y) |dy

  八、多元函数

  (一)多元函数定义

  定义:设D为X0平面上的一个区域,如果对于D上的每一点 P(x/),变量Z依照某一规律/有唯一确定的数值与之对应, 则称Z为x/的函数,记作z = f(x,y)

  类似的可以定义三元函数,记作u = f(x,y,z)

  二元及二元以上的函数统称多元函数.

  八、多元函数

  (二)偏导数

  偏导数的求法:

  求二元函数z = f(x,y)对x和y的偏导数,并不需要新的 方法,当求f(x,y)对x的偏导数时,只要将二元函数中的 y看成是常数,而对x求导数就行了.

  同理,求f(x,y)对y的偏导数时,只要将二元函数中的

  x看成是常数,而对y求导数就行了.

  如果要求f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数,只需在偏导 函数中将x = x0,y =夕0带入即可。

  2(fz) = ^z = z * = f 4 x, y) d x d x d x

  d d z ) d2 z

  dy d x d x dy

  d d z d2 z _

  d x dy dy d x d d z d2 z _

  6y dy 6y2 工

  八、多元函数

  (四)二元函数极值

  解题思路:设函数z = f (x,y)在点(x0,y。)的某邻域内 连续,有一阶和二阶连续偏导数,且

  fx (x o, y o) = 0, fy (x o, y o) = 0

  又设

  f -x(x o, y o) = A, f -y(x o, y o) = B, f #39;y( (x o, y o) = C

  则 ⑴ 当B2 -AC lt; 0时,函数f (x,y)在点(x0,y0)处取得 极值,且当A lt; 0时时有极大值,当A > 0时有极小值.

  ⑵B 2-AC > 0时,函数f ( x, y )在点(x 0, y 0)处无极值.

  (3)B2-AC = 0时,函数f(x,y)在点(x0,y0)处极值不能确定

  八、多元函数

  (五)全微分

  全微分dzbdx + f dy

  d.x dy

  一元函数y = f (x)在点x处可导与可微是等价的。

  二元函数z = f (x, y )可微与偏导数存在的关系是:

  函数z = f(x, y)在点(x, y)处可微的必要条件是偏导数 f生存在。可微的充分条件是f生存在且连续。 dx dy dx dy

  类似地,若三元函数u = f (x,y, z)可微,贝U

  ,_f,if,if, du — dx + dy + dz

  dx dy dz

  九、常微分方程

  (二)二阶线性微分方程

  y“ + py#39; + qy = 0的通解形式

  特征方程r2 + pr + q = 0的根r1,r2

  (1)A = p2 -4q > 0,两个不等的实根 r1,r2, y 二 C1 erx + C2er2x

  (2)A = p2 -4q = 0,两个相等的实根r1,r2, y = (C1 + C2x)er1 x

  (3)A = p2 - 4q lt; 0, 一对共轭复根 r1, r2 二 a ± 伊,y = eax (C1 cos 0x + C2 sin 0x)

  若y=Ciyi + C2y2为对应的齐次方程的通解,y*为非齐次方程的特解

  则Ci yi + C 2 y 2 + y *为非齐次方程的通解

  (一)定义:设有数列{un}(n = 1,2,…),称表达式u 1 + u2 +...

  s

  Un + ... = £ Un为无穷级数,简称级数,而称U 1为首项, n=1

  Un为级数的一般项。

  (二)收敛与发散

  s

  如果数列{Sn棺极限,即lim Sn = S,则称级数V Un收敛.

  n—s

  n=1

  s

  极限值S称为级数的和,或者说级数V Un收敛收敛于S, n=1

  s

  记为V Un = S.反之,若极限lim Sn不存在,则称级数发散 ^― n — s

  n=1

  若级数£ Un收敛,则lim Un = 0,由此可知: n fg

  n=1

  g

  若级数£ Un = 0,级数的收敛性不能判断

  n=1

  上1

  级数£ 士收敛。

  n=1 n

  (五)判定方法

  1比较判别法

  8 8

  若£ Un与£ v〃皆为正项级数,且0 lt; Un lt; V(n = 1,2,…n).则

  n=1 n=1

  8 8

  (1)若£ vn收敛时,£un必收敛。

  n=1 n=1

  8 8

  (2)若£un发散时,£vn必发散。 n=1 n=1

  2.比值判别法(达朗贝尔判别法)

  8

  £ un为正项级数

  n=1

  f p lt; 1时收敛

  如果lim Un±L = p,贝ljlt; p > 1时发散

  n T8 u

  n [ p = 1时不定

  如果Un常有因子n,用这种方法判别正项级数的收敛性

  比较方便

  8

  幂级数£氏/收敛半径的求法 n=0

  ⑴对于不缺项的幂级数£ anx〃,设lim a±L = p,则 n-8 a

  n=0 an

  f 1八,八

  —,0 lt; P lt; +8

  收敛半径R = lt; 0, p = +8

  + 8, p = 0

  -^,0 lt; p lt; +g pP

  + g, p = 0

  0, p = +g

  十、向量代数与空间解析几何

  (一)空间直线方程

  直线的标准方程:

  过点M(x0,y0,z0)且平行于向量s = {m,n,p}的直线方程

  x一几二 y - y0 二 z—zo

  m n p

  称为直线的标准式方程(又称点向式方程,对称式方程) 常数s = {m, n, p}为所给直线的方向向量。

  十、向量代数与空间解析几何

  (二)曲面方程

  (1)球面:(X - x0)2 +(y - y0)2 +(z 一 z0)2 = R2

  2 2 2

  ⑵椭球面:\ +=+ - = 1

  a b c

  ⑶圆柱面:x2 + yy = RR

  2 2

  (4)椭圆柱面:0+ 4 = 1

  a / b /

  2 2

  ⑸双曲柱面:1 一 4 二 一1 a b

  (6)抛物柱面:x2 - 2py = 0(p > 0)

  ⑺旋转抛物面:z = X 2 + y 2

  (8)圆锥面:x2 + y2 - z2 = 0


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